Racionalización de Radicales

En matemáticas, la racionalización de radicales es un proceso en el cual se transforma una expresión, la cual es una fracción con raíz en el denominador, a otra equivalente sin raíz en el denominador.

También se le conoce como racionalizar una fracción con raíces en el denominador, que consiste en operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción.²​ Para ello se multiplica el numerador y el denominador por otra expresión de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador. Cabe destacar que la expresión a racionalizar puede tener la raíz con índice mayor que dos (por ejemplo, raíz cúbica), cantidad subradical puede ser un monomio, binomio, etc, y que la expresión obtenida equivalente puede o no presentar raíces en el numerador.


Operaciones 

Racionalización de un monomio

Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente. En el siguiente caso:

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {5}}}}$

hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {8{\sqrt {5}}}{({\sqrt {5}})^{2}}}}$

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

${\displaystyle {\frac {8{\sqrt {5}}}{({\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {8{\sqrt {5}}}{5}}={\frac {8}{5}}{\sqrt {5}}}$

También se debe tener en cuenta todas las propiedades para poder resolver los problemas de forma más fácil.

Se debe tener cuidado al realizar las operaciones entre los radicales, pues si se tiene

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {x}}}}$

Al racionalizar, se debería multiplicar por

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}}$

y aquí existe el riesgo de "sobresimplificar", olvidando que en general ${\displaystyle {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}\neq {\sqrt {x^{2}}}}$, para llegar a:

${\displaystyle {\frac {{8}{\sqrt {x}}}{\sqrt {x^{2}}}}}$ que es incorrecto,

pues

${\displaystyle {\frac {{8}{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}$ es en realidad la forma correcta.

Con un ejemplo se ve claramente que ${\displaystyle {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}\neq {\sqrt {x^{2}}}}$. Tomemos ${\displaystyle x=-3}$:

${\displaystyle {\sqrt {-3}}{\sqrt {-3}}={\sqrt {(-3)^{2}}}={\sqrt {9}}=3\neq -3=3i^{2}={\sqrt {(-3)}}^{2}={\sqrt {-3}}{\sqrt {-3}}}$

donde hemos hecho uso de la unidad imaginaria i.

Racionalización de binomio

Para racionalizar un binomio, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

${\displaystyle {\frac {2}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\displaystyle {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}$; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

${\displaystyle {\frac {2}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$ · ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}{{\sqrt {2^{2}}}-{\sqrt {3^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}{{\sqrt {2^{2}}}-{\sqrt {3^{2}}}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}{{2}-{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}{-1}}}$ = ${\displaystyle {-2({\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}$

El caso general de un binomio con dos raíces cuadradas también es fácilmente resoluble:

${\displaystyle {\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}}}={\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}{b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}}={\frac {b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}{b^{2}q-a^{2}p}}}$

Más complicada es la racionalización de un trinomio:

${\displaystyle {\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}+c}}={\frac {(b{\sqrt {q}}+c-a{\sqrt {p}})(-b^{2}q-c^{2}+a^{2}p+2bc{\sqrt {q}})}{b^{4}q^{2}-2b^{2}c^{2}q-2b^{2}qa^{2}p+c^{4}-2c^{2}a^{2}p+a^{4}p^{2}}}}$